Miniatury matematyczne 79

Komitet Organizacyjny konkursu „Kangur Matematyczny” oddaje do rąk Czytelnika kolejny tomik Miniatur Matematycznych. Treści zawartych w nim artykułów kierujemy przede wszystkim do młodzieży szkół ponadpodstawowych, mamy jednak nadzieję, że okażą się również ciekawe dla nauczycieli oraz wszystkich pasjonatów matematyki.

Tegoroczny zestaw miniatur pokazuje matematykę jako dziedzinę spójną w swojej różnorodności i łączącą pokolenia, dostarczającą wspólnego języka jakim porozumieć mogą się ze sobą uczniowie, nauczyciele i naukowcy, sympatycy różnych działów w obrębie samej matematyki, a nawet — jeśli tylko byłoby to możliwe — ludzie różnych epok historycznych.

Często używa się porównania zdobywania wiedzy matematycznej do nauki języków obcych. Podkreśla się przy tym potrzebę wytrwałości i systematycznej pracy, zwracając uwagę na konieczność poznawania pojęć matematycznych w pewnej kolejności, tak samo jak ważne jest to podczas nauki języków obcych. O ile, dla przykładu, można być znawcą świata zwierząt, nie mając zbyt głębokiej wiedzy na temat botaniki, o tyle trudno posługiwać się płynnie w mowie i piśmie językiem obcym bez opanowania kolejno coraz bardziej złożonych struktur gramatycznych i pewnego zakresu słownictwa. Tak samo bez znajomości pojęć mniej zaawansowanych nie da się zrozumieć matematyki bardziej zaawansowanej, zwłaszcza że pojęcia trudniejsze często określane są przy pomocy pojęć podstawowych. Walorem języka matematyki jest jego uniwersalność i ponadnarodowość, zaś o jego zastosowaniach do opisu świata nikomu nie trzeba przypominać.

Myślimy często, że chociaż matematyka towarzyszy człowiekowi od „niepamiętnych czasów”, jednak rozwija się i jest na dużo wyższym poziomie niż sto, dwieście czy tysiąc lat temu. Tego tematu dotyka pierwsza miniatura zatytułowana „Czego nie wiedzą matematycy”. Znajdziemy w niej przykłady problemów arytmetycznych, które od wielu lat, a nawet od wieków pozostają nierozwiązane. Okazuje się, że mimo rozwoju matematyki i jej znaczenia dla postępu cywilizacyjnego, wciąż istnieją pytania otwarte, na które nie są znane odpowiedzi lub znane są tylko odpowiedzi częściowe — na przykład dotyczące pewnych przypadków szczególnych. Co więcej, oryginalne sformułowania tych zagadnień są wciąż aktualne i nieraz brzmią bardzo prosto. Autor przyprawia merytoryczny opis takich zagadnień szczyptą historii sięgającej nawet aż do czasów starożytnych. Podsumowanie stanowi rozdział pokazujący matematykę jako proces stawiania pytań, formułowania hipotez, badania argumentów wzmacniających przekonanie o ich prawdziwości i wreszcie poszukiwania ich formalnych dowodów.

Druga miniatura nosi tytuł „O wyższości zbiorów wypukłych nad innymi zbiorami” i stanowi istotne rozwinięcie wiedzy szkolnej o zbiorach wypukłych w kontekście figur płaskich. Czytelnik znajdzie w nim wiele odniesień do pojęć znanych z lekcji matematyki takich jak kąty (lub wielokąty) wypukłe i wklęsłe, zrozumie także, dlaczego takie akurat nazewnictwo się tu pojawia. Autor zilustrował treści matematyczne wieloma rysunkami, wzmacniającymi intuicję i odnoszącymi się do typowo szkolnych figur. Na przykładzie omawianego tematu, w przystępny sposób pokazano skuteczną w nauczaniu matematyki drogę „od szczegółu do ogółu”, rozszerzając znaczenie pojęć szkolnych — na przykład stycznej do okręgu będącego brzegiem koła, do pojęcia stycznej zbioru wypukłego.

Trzeci artykuł zatytułowany „Każdy może pomóc” ukazuje matematykę jako całość złożoną wprawdzie z wielu różnych działów, ale przenikających się i stanowiących wzajemną pomoc podczas rozwiązywania problemów. Jest on kontynuacją miniatury sprzed dwóch lat, gdzie pokazano jak zagadnienia czysto geometryczne można rozwiązać z użyciem narzędzi algebry i odwrotnie. Tym razem autorki pokazują wzajemną pomoc również w obrębie innych działów matematyki, na przykład współpracę algebry z kombinatoryką czy teorią wielomianów. Na zakończenie Czytelnik znajdzie dwa przykłady zastosowania liczb zespolonych do obliczenia pewnych sum liczb rzeczywistych. Artykuł ten z pewnością zainteresuje poszukiwaczy nietypowych rozwiązań zadań konkursowych.