Miniatury matematyczne 54

Miniatura skierowana do uczniów szkół gimnazjalnych.

"Tradycyjnie już, tak jak w latach poprzednich, również i w obecnym – jubileuszowym roku 25. edycji konkursu Kangur Matematyczny w Polsce, członkowie Komitetu Organizacyjnego przygotowali cykl miniatur – krótkich artykułów popularyzujących matematykę. Niniejszy tomik składa się z trzech miniatur zawierających treści skierowane do uczniów szkół gimnazjalnych zainteresowanych matematyką. Stanowi również pomocny materiał dla zaangażowanych w pracę z młodzieżą nauczycieli matematyki. Wspólną cechą trzech wspomnianych artykułów jest przypomnienie bardzo ważnej, a nieco już zapomnianej we współczesnym nauczaniu szkolnym, umiejętności prowadzenia dowodu na gruncie geometrii i algebry. W szczególności, dwie początkowe miniatury pokazują konstrukcyjne spojrzenie na geometrię, ostatnia zaś na algebrę. Pierwsza miniatura przypomina i rozszerza materiał dotyczący metod przeprowadzania konstrukcji geometrycznych. Ten ważny fragment geometrii szkolnej, ograniczony współcześnie do podstawowych tylko konstrukcji, poza oczywistą wartością merytoryczną, uczy również pewnej dyscypliny w dbałości o precyzję wykonywanego rysunku, jak również dyscypliny w redagowaniu rozwiązań tego typu problemów.Wymagają bowiem one przeprowadzenia dyskusji i uzasadnienia poprawności przeprowadzanej konstrukcji. Kolejna miniatura tematyką pozostaje w geometrii i również pokazuje jej konstrukcyjne ujęcie. Traktuje bowiem o problemie jednakowoskładalności wielokątów, centralnym zaś twierdzeniem jest fakt, że pola dwóch wielokątów są równe wtedy i tylko wtedy, gdy wielokąty te są jednakowoskładalne, to znaczy, gdy można je pociąć na jednakową, skończoną liczbę mniejszych wielokątów, tak aby każdy mały wielokąt otrzymany w wyniku pocięcia jednego wielokąta przystawał do odpowiedniego małego wielokąta otrzymanego z pocięcia drugiego wielokąta. Prezentowane dowody twierdzeń o istnieniu mają tu często właśnie konstrukcyjny charakter i mimo że mówimy o problemie równości pól, to odchodzi się tu od rozważań rachunkowych. Ostatnia miniatura porusza temat nierówności jako pewnych twierdzeń o liczbach rzeczywistych. Już samo pojęcie relacji nierówności, zwłaszcza nieostrej, występuje w matematyce szkolnej w bardzo ograniczonym zakresie, głównie przy porównywaniu liczb (przy czym używa się tu tylko nierówności ostrych) oraz podczas rozwiązywania nierówności (czyli szukania liczb spełniających pewne funkcje zdaniowe). Dowodzenie nierówności jako ogólnych twierdzeń, szeroko tu omówione, ma podwójną wartość: pogłębia rozumienie samej relacji nierówności i jej własności oraz uczy dyscypliny w poprawnym formułowaniu dowodu matematycznego, w szczególności redukcyjnego. Wszystkie zawarte w tym tomiku miniatury mają jeszcze jedną wspólną cechę, są świetnym treningiem spostrzegawczości, zarówno na poziomie algebraicznym (polegającym na przykład na sprytnym grupowaniu wyrażeń), jak i geometrycznym (polegającym na przykład na sprytnym dorysowaniu odcinka). Życzymy wszystkim Czytelnikom przyjemnej lektury!"