Miniatury matematyczne 67

Matematyka współczesna wyrosła z matematyki uprawianej w starożytnej Grecji. A najistotniejszą częścią matematyki greckiej była geometria rozumiana jako nauka o kształtach, ich wzajemnym położeniu i stosunkach. Owe kształty były dla Greków idealizacją obiektów spotykanych w codziennym życiu, a więc były jak najbardziej namacalne i realne. Namacalne były też liczby pojawiające się w geometrii, bo pojawiały się w wyniku przeprowadzonego albo wyobrażonego, ale możliwego do przeprowadzenia pomiaru. Liczby rozumiane jako obiekt abstrakcyjny długo walczyły o pełnię obywatelstwa w matematyce, ale
gdy już je zdobyły, zawładnęły matematyką niepodzielnie i umożliwiły dalsze etapy abstrakcji.

   Wprowadzenie algebry umożliwiło zapisywanie nawet skomplikowanych zależności w postaci zwartych, syntetycznych wzorów i niemal mechaniczne operowanie tymi wzorami. Niestety łatwość manipulacji ma swoją cenę. Zamiast obiektów i własności dostępnych zmysłom otrzymujemy abstrakt wymagający interpretacji. Wielu ludzi nawet w podeszłym wieku na pytanie o twierdzenie Pitagorasa bez wahania recytuje „a kwadrat plus b kwadrat równa się c kwadrat”, ale jedynie nieliczni potrafią powiedzieć, co to właściwie znaczy.

   Następne dwa wielkie etapy na drodze ku abstrakcji to odkrycie geometrii analitycznej, a następnie rachunku różniczkowego i całkowego. Z jednej strony dostarczyły potężnych narzędzi, z drugiej strony jeszcze bardziej ukryły obiekty geometryczne za parawanem abstrakcyjnych konstrukcji. Dobrym przykładem jest tu parabola. Dla Greków był to kształt odpowiedniego przekroju stożka, dla przeciętnego ucznia (a nawet studenta matematyki) parabola stała się jedynie wykresem funkcji kwadratowej. Bliźniacze kształty elipsy i hiperboli miały mniej szczęścia, bo rzadko kto o nich pamięta, a jeszcze mniej uczniów dostrzega ich rodzinne związki.

    Mamy w ten sposób sytuację paradoksalną. Rozwój matematyki dostarcza coraz precyzyjniejszych narzędzi, ale ich użycie staje się coraz mniej oczywiste. Jednym ze sposobów uniknięcia tych trudności jest powrót do źródeł, czyli do geometrii. Zabawa nawet najprostszymi obiektami geometrycznymi kształtuje intuicję pomocną nie tylko w zrozumieniu konstrukcji matematycznych, ale także w działaniach czysto praktycznych.

Książeczkę, którą oddajemy do rąk Czytelnika, można by zatytułować „O różnych obliczach geometrii”. Miniatura pierwsza traktuje o zastosowaniu nierówności między średnimi do znajdowania obiektów geometrycznych pod pewnym względem optymalnych. Typową metodą atakowania tego typu zadań jest rachunek różniczkowy. Autorki pokazują liczne przykłady, gdy zadania takie można skutecznie i elegancko rozwiązać, wykorzystując nierówności znane już pitagorejczykom.

   W miniaturze drugiej przedstawiono pewne zagadnienia związane ze wzajemnym położeniem prostych i punktów na płaszczyźnie. Pytania
są na tyle elementarne, że z powodzeniem mogłyby być rozważane przez Euklidesa. Aż dziw, że zostały zadane całkiem niedawno i wiele z nich
do tej pory nie znalazło satysfakcjonującej odpowiedzi.

   Kolejna miniatura poświęcona jest niemal kompletnie zapomnianemu twierdzeniu Ptolemeusza. Klaudiusz Ptolemeusz, jeśli już jest wspominany w popularnych opracowaniach historii nauki, to jedynie jako twórca odrzuconego geocentrycznego modelu planetarnego. Próba rozwikłania ruchu ciał niebieskich odegrała niebagatelną rolę w rozwoju metod geometrycznych, a wkład samego Ptolemeusza jest nie do przecenienia. Omawiane twierdzenie to jedynie skromny „produkt uboczny” jego poszukiwań. Autorzy pokazują przykłady problemów, których typowe rozwiązanie wymaga wielokrotnego użycia twierdzenia Pitagorasa, natomiast zastosowanie twierdzenia Ptolemeusza daje rozwiązanie krótsze i mniej skomplikowane pod względem rachunkowym.

   Miniatura ostatnia stara się uporządkować i podsumować szkolną wiedzę o izometriach płaszczyzny. Pojawiająca się tu grupa izometrii własnych figury płaskiej jest protoplastą nowoczesnego podejścia do problemu klasyfikacji nie tylko w geometrii, ale i w innych działach matematyki.