Miniatury matematyczne 55

Miniatura skierowana do uczniów szkół ponadgimnazjalnych.

" Historia matematyki jest historią zadawania coraz to nowych pytań i prób odpowiedzi na nie. Nikogo nie dziwi, gdy nowe pytanie wymaga stworzenia czegoś nowego: nowej konstrukcji, nowego obiektu, czy nowego podejścia. Ale znacznie częściej zdarza się, że zupełnie nowe pytanie znajduje odpowiedź wśród rzeczy dobrze znanych, rozważanych niejednokrotnie przy okazji zupełnie innych pytań, pozornie całkowicie nie związanych z pytaniem aktualnym. Budzi to zdziwienie zwłaszcza wtedy, gdy pierwotne pytanie było „czysto teoretyczne”, wynikało jedynie z czysto intelektualnej ciekawości, a udzielona odpowiedź znajduje zastosowanie przy rozwiązaniu problemu praktycznego. Jaką krzywą zakreśla liść przyczepiony do koła wozu jadącego prostą drogą? Czy można wypełnić płaszczyznę pięciokątami? Czy istnieje liczba naturalna, którą można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych na dwa istotnie różne sposoby? Te pytania pojawiają się w trzech artykułach tworzących niniejszą miniaturę. Gdy je zadawano po raz pierwszy, nikt nie myślał, że mogą dawać jakiekolwiek implikacje praktyczne. Cykloida będąca odpowiedzią na pierwsze z powyższych pytań znalazła liczne zastosowania (między innymi w architekturze i mechanice jako kształt łuku odpornego na duże obciążenia, jako ogranicznik stabilnego wahadła), ale przede wszystkim okazała się odpowiedzią na pytanie Johanna Bernoulliego o krzywą najszybszego spadku. Pytanie drugie do- prowadziło do uzyskania materiałów o niezwykłych własnościach elektrycznych i magnetycznych (tzw. quasikryształów). Liczby naturalne przez długi czas wydawały się jedynie szczególnym przypadkiem tych prawdziwych liczb rzeczywistych, przy pomocy których dawało się modelować świat fizyczny i poszukiwać rozwiązań technicznych. Sytuacja zupełnie zmieniła się z nastaniem rewolucji cyfrowej: to liczby naturalne najlepiej opisują świat komputerów, a niektóre powszechnie stosowane rozwiązania praktyczne bazują na subtelnych własnościach liczb naturalnych, które jeszcze do niedawna wydawały się bliższe spekulacji filozoficznej niźli jakiejkolwiek działalności praktycznej. Trzy poniższe artykuły różnią się nie tylko tematyką, ale i sposobem podejścia do tematu. Artykuł pierwszy stawia sobie dwa cele. Pierwszym jest zapoznanie czytelnika z parametrycznym opisem krzywych. Jest to sposób naturalny i niezwykle użyteczny w praktyce, a zupełnie nieobecny w matematyce szkolnej: krzywa nie jako statyczny zbiór punktów, ale jako zapis historii ruchu punktu w czasie. Drugi cel można by żartobliwie określić jako krótką wycieczkę tematyczną z przewodnikiem po zwierzyńcu krzywych płaskich. Choć wbrew tytułowym zapowiedziom do prawdziwej egzotyki wycieczka nie dociera, to pozwala przynajmniej rzucić okiem na inne gatunki niż udomowiony w materiale szkolnym okrąg, parabola, hiperbola i elipsa. Wycieczka jest tematyczna, bo trzymamy się krzywych otrzymanych w wyniku ruchu okręgu, dzięki czemu nasze zwiedzanie nie jest chaotyczne i daje znacznie więcej niźli pogoń za ciekawostkami. Artykuł drugi jest bardziej esejem o życiu pewnego wątku matematycznego niż prezentacją konkretnego tematu. Nie ma tu twierdzeń ani rachunków, choć dogłębne opracowanie wymagałoby i jednego i drugiego. Pojawiają się za to obrazki niewątpliwie geometryczne, ale jakże inne od tych, które spotykamy w geometrii szkolnej. Początki historii sięgają starożytności, lecz jeden z problemów nabiera szczególnej wagi w czasie współczesnym, gdy chcemy naszą wiedzę przenieść w świat wirtualny: jak opisać nieskończoną konfigurację geometryczną w skończony sposób. Artykuł ostatni jest rzetelnym wykładem teorii podzielności liczb naturalnych zapisanym w tradycyjnym schemacie definicja – lemat – twierdzenie. Zawiera on to, co wszyscy wiedzą – a przynajmniej przeczuwają – na temat podzielności, ale niekoniecznie potrafią wysłowić. Artykuł może być bazą do usystematyzowania wiedzy na kółku matematycznym lub w ramach samokształcenia. Ułatwia to seria zadań z rozwiązaniami."